The Beta-Hyperbolic Secant Distribution

The shape of a probability distribution is often summarized by the distribution’s skewness and kurtosis. Starting from a symmetric “parent” density f on the real line, we can modify its shape (i.e. introduce skewness and in-/decrease kurtosis) if f is appropriately weighted. In particular, every density w on the interval (0, 1) is a specific weighting function. Within this work, we follow up a proposal of Jones (2004) and choose the Beta distribution as underlying weighting function w. “Parent” distributions like the Studentt, the logistic and the normal distribution have already been investigated in the literature. Based on the assumption that f is the density of a hyperbolic secant distribution, we introduce the Beta-hyperbolic secant (BHS) distribution. In contrast to the Beta-normal distribution and to the Beta-Student-t distribution, BHS densities are always unimodal and all moments exist. In contrast to the Beta-logistic distribution, the BHS distribution is more flexible regarding the range of skewness and leptokurtosis combinations. Moreover, we propose a generalization which nests both the Beta-logistic and the BHS distribution. Finally, the goodness-of-fit between all above-mentioned distributions is compared for glass fibre data and aluminium returns. Zusammenfassung: Die Gestalt einer Verteilung wird häufig zusammengefasst durch Schiefe und Kurtosis beschrieben. Wir starten mit einer symmetrischen “Eltern” Dichte f auf der reellen Achse und modifizieren ihre Gestalt (d.h. wir führen Schiefe ein und vergrößern/verkleinern die Kurtosis) indem f passend gewichtet wird. Insbesondere ist jede Dichte w auf dem reellen Intervall (0, 1) eine bestimmte Gewichtsfunktion. In dieser Arbeit folgen wir einem Vorschlag von Jones (2004) und wählen die Betaverteilung als zugrunde liegende Gewichtsfunktion w. “Eltern” Verteilungen wie die Student-t, die logistische und die Normalverteilung sind bereits in der Literatur untersucht worden. Wir nehmen an, dass f die Dichte einer Hyperbolische Schrankenverteilung ist, und führen so die Beta-Hyperbolische Schranken (BHS) Verteilung ein. Im Gegensatz zur Betanormal Verteilung und zur Beta-Student-t Verteilung sind BHS Dichten immer unimodal und alle Momente existieren. Im Gegensatz zur Beta-logistischen Verteilung ist die BHS Verteilung flexibler betreffs dem Bereich von Schiefe und Leptokurtosis Kombinationen. Zudem schlagen wir eine Verallgemeinerung vor, die sowohl die Beta-logistische als auch die BHS Verteilung enthält. Schließlich wird die Anpassungsgüte aller erwähnten Verteilungen für Glasfaser-Daten und Aluminiumpreise verglichen.